De gereedschapskist van de wiskunde

Soms sta je voor een vraag waarop je niet direct een antwoord hebt. Hoeveel water heeft een plant nodig om goed te groeien? Wat gebeurt er met je spaargeld als je elke maand iets inlegt? En waarom gaat een raket niet twee keer zo ver als je hem twee keer zo hard lanceert?

In al die voorbeelden probeer je eigenlijk hetzelfde te doen: je zoekt een relatie tussen twee dingen. Als ik meer water geef, groeit de plant dan ook meer? En zo ja, groeit de plant langzaam als ik een glas water geef? Snel? Groeit de plant steeds sneller? Kom je na een tijdje tegen een soort maximum tegen, wanneer de plant niet meer zal groeien? Of wanneer komt het punt dat meer water juist slechter?

Om hier achter te komen kun je een aantal dingen doen. Een voor de hand liggende optie is om verschillende hoeveelheden water te geven en elke keer te meten hoe hard de plant groeit. Dan krijg je een tabel met metingen: “bij $x$ milliliter water hoort $y$ centimeter groei”. Maar losse metingen zijn nog geen antwoord. Je wilt weten wat er tussen de meetpunten gebeurt, en vooral: of er een patroon is dat je kunt gebruiken om de groei te voorspellen.

Daarom kies je in onderzoek meestal een opzet met drie onderdelen: (1) je bepaalt precies wat je verandert (de input, zoals water), (2) wat je meet (de output, zoals groei), en (3) welke factoren je gelijk houdt (licht, potgrond, temperatuur, type plant). Daarna verzamel je genoeg meetpunten om een vorm te herkennen: lijkt het ongeveer een rechte lijn, buigt het af, zit er een top in?

En op dat moment wordt een formule handig. Niet omdat die “de waarheid” is, maar omdat een formule een compacte manier is om te zeggen: dit is het soort relatie dat ik verwacht. Je kiest een eenvoudige kandidaat (bijvoorbeeld lineair), kijkt hoe goed die past bij je metingen, en als dat niet werkt probeer je een iets uitgebreidere beschrijving (bijvoorbeeld iets met een kromming of een maximum). Zo wordt onderzoek een wisselwerking tussen meten en modelleren: je metingen geven je richting, en een model dwingt je om helder te zijn over welke relatie je eigenlijk aan het testen bent.

Je kunt zulke relaties dus beschrijven met formules. Een formule is niet magisch; het is meer alsof je een gereedschapskist hebt met allerlei soorten gereedschap. Je bouwt stap voor stap een beschrijving van “hoe iets zich gedraagt”. Zo zijn er de volgende voorbeelden:

Een krik: daarmee til je de hele grafiek omhoog of omlaag. In een formule is dat vaak een constante die je ergens bij optelt.
Een draaiknop: daarmee maak je een lijn steiler of vlakker. Je kan hem ook omdraaien, zodat iets dat stijgt daarna juist zal dalen.
Een buigtang: daarmee geef je een relatie kromming, zodat “meer” niet alleen meer wordt, maar steeds sneller meer (of juist steeds sneller minder).
Een schuifrail: soms wil je het hele patroon naar links of rechts verplaatsen: hetzelfde verhaal, maar eerder of later.

Een formule bestaat uit termen die, net als gereedschap, elk een eigen taak hebben. Je hoeft niet meteen “de perfecte formule” te vinden; je kunt beginnen met iets simpels en daarna één gereedschapje toevoegen om te zien wat er verandert. Soms moet de grafiek alleen wat omhoog, soms moet hij steiler, soms moet hij buigen, en soms moet het geheel een stukje opschuiven.

We gaan deze voorbeelden van gereedschap één voor één bekijken. Niet door eindeloos te rekenen, maar door ermee te spelen: je ziet direct wat er gebeurt als je een stuk gereedschap meer of minder gebruikt. Het doel is niet om trucjes te onthouden, maar om een gevoel te krijgen voor de vorm van een relatie. Dat gevoel helpt je op twee manieren: je kunt sneller een redelijke schatting maken, en je herkent eerder wanneer een uitkomst “niet kan kloppen”.

De krik: alles omhoog of omlaag

Stel je voor dat je een grafiek op een tafel hebt getekend, op een vel papier. Nu schuif je een krik onder dat papier en je pompt één keer. Wat gebeurt er? Er verandert niks aan de vorm. De lijn wordt niet steiler, hij gaat niet anders krommen, en links en rechts blijven hetzelfde. Het enige wat gebeurt: alles komt evenveel omhoog. En als je de krik laat zakken, gaat alles evenveel omlaag.

In een formule is die krik meestal een constante die je erbij optelt. Schrijf je bijvoorbeeld:

$y = c$

dan is de uitkomst $y$ altijd hetzelfde, ongeacht welke $x$ je erin stopt. Het is een “platte” grafiek: een horizontale lijn. Zet je $c$ op $3$ , dan ligt de lijn op $y=3$ . Zet je $c$ op $-2$ , dan ligt hij op $y=-2$ . Je hebt geen groei of daling, alleen een niveau.

Dit klinkt misschien saai, maar die krik zit stiekem overal in. Vaak betekent zo’n constante: een startwaarde, een basisniveau, of een minimum dat je sowieso hebt. Denk aan de vaste kosten die je altijd hebt, zelfs als je niks gebruikt. Of aan de hoeveelheid geld die al op je rekening staat voordat je begint met sparen. Of aan de afstand van de grond die een bal heeft op het moment dat je deze los laat om hem zo ver mogelijk te gooien.

Probeer maar! Kies hier onder een willekeurige waarde voor $c$ en bedenk één realistisch verhaal waarbij dit het “basisniveau” is. Speel een beetje met de waarde en kijk wat er gebeurt. Als dat helder voelt, komt de volgende stap vanzelf: wat als de grafiek niet alleen hoger of lager ligt, maar ook kan stijgen of dalen? Hiervoor pakken we het volgende stuk gereedschap: de draaiknop voor de helling.

De draaiknop: helling en richting

Als de krik alleen maar het hele plaatje omhoog of omlaag tilt, dan doet de draaiknop iets anders: hij verandert de helling (of de stijlheid) van de lijn. Alsof je een liniaal op tafel hebt liggen en je draait één kant omhoog. Het punt waar de lat de y-as raakt kan hetzelfde blijven, maar de lijn gaat ineens stijgen of dalen. De simpelste vorm is:

$y = b\cdot x$

Hier is $b$ de draaiknop. Het vertelt hoeveel $y$ verandert als $x$ één stap verandert. Er zijn een paar belangrijke scenario’s die je hierbij in gedachte kan houden.

Als $b = 0$ , dan gebeurt er niks: je krijgt een platte lijn op $y=0$ .
Als $b > 0$ , dan stijgt de lijn: grotere $x$ geeft grotere $y$ .
Als $b < 0$ , dan daalt de lijn: grotere $x$ geeft kleinere $y$ . Je hebt de lijn als het ware “omgedraaid”.

En de grootte van $b$ bepaalt hoe steil het gaat. Bijvoorbeeld, als $b = 0{,}5$ , dan betekent dat als $x$ 2 omhoog gaat, gaat $y$ ongeveer 1 omhoog (een verhoging van de helft van je x-waarde dus). Als $b = 2$ ,, dan betekent dat als $x$ 1 omhoog gaat, dan gaat $y$ 2 omhoog. In het echte leven is dit vaak precies wat je bedoelt met “per”, zoals wanneer we het hebben over euro per uur, of kilometers per liter. Het is een regel die zegt: bij elke stap in $x$ , hoeveel stap je mee in $y$ ?

Probeer maar wat te spelen in de formule hier onder. Zet eerst $b = 0$ en schuif $c$ omhoog/omlaag. Herken je de krik terug? Daarna kan je bijvoorbeeld c op nul zetten en wat met $b$ spelen. Wanneer wordt de lijn steil, wanneer vlak, en wanneer draait hij om?

Als dit eenmaal intuïtief voelt, is de volgende stap om na te denken over wanneer we een “buiging” in de relatie willen hebben: dan komt er een term bij die niet per stap hetzelfde effect heeft, maar steeds sterker wordt. Dat is waar $x^2$ om de hoek komt kijken.

De buigtang: wanneer “meer” steeds harder meetelt

Soms is een rechte lijn gewoon te simpel. In het begin helpt extra water misschien veel, maar na een tijdje levert nóg meer water steeds minder op. Of juist andersom: eerst gebeurt er weinig, en zodra je over een drempel gaat, schiet het ineens omhoog. Dan voelt “elke stap in (x) geeft evenveel stap in $y$ ” niet meer geloofwaardig. Je zoekt een relatie die kan buigen.

Daar komt $x^2$ binnen. In $y = a\cdot x^2$ zit het idee in het kwadraat: als $x$ groter wordt, groeit $x^2$ steeds sneller. Daardoor krijg je geen rechte lijn, maar een kromme vorm: een parabool. De letter $a$ is jouw buigtang. Met $a>0$ opent de parabool omhoog (een soort kom), met $a<0$ opent hij omlaag (een soort berg). En hoe groter de absolute waarde van $a$ is (dus hoe groter), hoe strakker de bocht.

Meestal wil je die bocht niet los gebruiken, maar samen met je eerdere gereedschap. Dan krijg je:

$y = a\cdot x^2 + b\cdot x + c$

De $c$ werkt nog steeds als krik: hij tilt de hele grafiek omhoog of omlaag. De $b$ werkt als draaiknop: hij geeft de parabool een “duw”, waardoor het laagste of hoogste punt niet meer precies in het midden ligt. En $a$ blijft de buiging bepalen.

Als je met de waardes in de figuur hier onder speelt, probeer dan eerst alleen $a$ te veranderen zodat je de bocht voelt. Voeg daarna $b$ toe om te zien hoe de parabool gaat “hangen”, en pak als laatste $c$ erbij om het geheel op te tillen of te laten zakken.

De schuifrail: hetzelfde patroon, maar naar links of naar rechts

Tot nu toe hebben we al geleerd hoe je een grafiek kunt verplaatsen zonder de vorm te veranderen: met de krik ( $c$ ) til je het geheel omhoog of omlaag. Dat lost één soort “verkeerde plek” op. Maar er is nog een andere versie van hetzelfde probleem: wat als de grafiek niet te hoog of te laag staat, maar te ver naar links of te ver naar rechts? Misschien begon je met meten toen de plant al een paar dagen aan het groeien was. Of je noemt het moment waarop je begint te kijken “(x=0)”, terwijl het proces eigenlijk al eerder is begonnen. De vorm van je relatie kan dan nog steeds goed zijn, alleen staat het hele patroon niet op de plek waar je het verwacht.

Voor zo’n horizontale verschuiving gebruik je de schuifrail. In plaats van $x$ in je formule te stoppen, stop je $x+d$ erin. Je vervangt dus overal $x$ door $x+d$ . Bijvoorbeeld:

$y = a(x+d)^2 + b(x+d) + c$

En hier zit een klein hersenkrakertje: als $d$ positief wordt, schuift de grafiek juist naar links. Dat komt doordat je bij dezelfde $x$ ineens rekent met een grotere invoer $x+d$ . Het systeem “denkt” als het ware dat je al verder bent op de $x$ -as, waardoor het patroon eerder verschijnt. Als $d$ negatief is, gebeurt het omgekeerde en schuift het patroon naar rechts. Het handige is dat je vooral verandert waar hetzelfde patroon plaatsvindt. Als je straks met de slider speelt, probeer dan eerst $a$ , $b$ en $c$ even vast te zetten en alleen $d$ te bewegen. Dan voel je meteen: dit is geen nieuwe vorm, maar dezelfde vorm op een andere plek.

Alles samen

Als je nu terugkijkt, heb je eigenlijk vier simpele ingrepen in handen. Je kunt een grafiek optillen of laten zakken ( $c$ ), steiler maken of omdraaien ( $b$ ), kromming toevoegen zodat “meer” steeds harder mee gaat tellen ( $a$ ), en het hele patroon naar links of rechts schuiven ( $d$ ). Dat klinkt misschien als weinig, maar met alleen deze vier kun je al verrassend veel relaties uit de echte wereld redelijk benaderen.

En dat is misschien wel het belangrijkste punt: wiskunde is hier niet “regels volgen”, maar een manier om gedrag te beschrijven. Je kiest niet zomaar letters; je kiest gereedschap. Als je een grafiek ziet, kun je jezelf nu afvragen: staat hij gewoon te hoog, of is hij te steil? Moet er een bocht in, of begint het patroon gewoon te vroeg of te laat? Zodra je dat soort vragen kunt stellen, ben je al bezig als een onderzoeker: je maakt een hypothese over de vorm, en je test of die vorm past bij wat je meet.